这样的事，实际上是可能在地球的表面发生的，只不过要放大很多。如果你从伦敦出发，一直沿着一条直线走，经过一段很长的时间，你最后还是会走到伦敦的。这是因为地球是一个闭合的曲面，表面又恰好是球形。

　　在最近的几百年间，我们已经很熟悉地球的紧致表面，按照它来测量海洋，环球飞行。紧致的意思是这个表面没有边界，并且和它本身很平滑地连接。所以球形表面是闭合的，同样一个肥皂泡，一个面包圈也是这样。一个立方体表面不是这样的，因为它有边缘，不过如果我们把它的边缘和它另外的边缘平滑地粘在一起，它就可以变成紧致的。

　　一个不寻常的可能性是我们的宇宙就是紧致的和互相连通的。换句话说就是，如果我们发射一艘宇宙飞船，沿着一条直线一直飞下去，最后会发现我们又回到了地球。当我们向后看觉得地球越来越远的时候，它在前方却离我们越来越近。

　　一个紧致的宇宙远比一个紧致的星球要大很多。从爱因斯坦理论我们得知，宇宙有三个空间维数和一个时间维数。按照他的相对论，我们都是沿着这个宇宙的自然曲面运动，而光也是沿着这些曲面运动。

　　如果那条陌生的街道是在一个很小的紧致宇宙中，世界会有很多奇怪的性质。街灯的光会沿着自然曲面包围整个宇宙。如果你站在那里，你会看到街灯的光沿着各个方向传播到你的眼前。

　　更进一步的，你会再次看到同一个场景：你站在一条无限的街道上。这就像一个四周都是镜子的大厅，无限多的图案出现在每一个方向。不过我们知道宇宙并不是那么小，它比几千个银河系还要大，但是仍然是有限的。

　　为了更形象一些，我们可以利用宇宙表面的几何性质。一个表面的几何性质可以由两个方面定义：表面的部分曲率和球面的拓扑性质。

　　图 2: 一个油炸面包圈的咖啡杯

　　拓扑是一个数学分支，研究物体在平滑变形下不会改变的性质。想象一块橡皮泥，平滑变形就是指弯曲，拉伸等等不需要把橡皮泥拉成几段或是挖出一个洞那样的变形。一个典型的例子就是一个炸面包圈可以通过平滑变形，变成一只咖啡杯。经过变形，面包圈的圈变成了咖啡杯的把，而仍然保持它只有一个洞的性质。我们说面包圈和咖啡杯有相同的拓扑性质。

　　图 3: 从矩形到圆筒

　　让我们从一张长方形的纸开始，你可以把它的左面的边与右面的边粘起来，它就成为了一个圆筒。

　　图 4: 从圆筒到圆环面

　　然后如果你把这个圆筒的上面的边和下面的边粘起来，你就得到了一个圆环面，这个形状在拓扑上已经是和咖啡杯等价的了。

　　图 5: 墨比乌斯带

　　如果你在粘开始的那张纸时，把它拧了180度再粘的话，你就会得到一个墨比乌斯带。如果你沿着这个墨比乌斯带一直走，你会发现当你把一面整个走了一遍以后，就走到了另外一面，而继续走下去，又会回到开始的一面。

　　图 6: 克莱因瓶

　　如果你把一个墨比乌斯带上面的边和下面的边粘在一起，你就得到了一个叫做克莱因瓶的东西。这个复杂的结构甚至不可能在三维的空间精确地画出来。图中看到的四个面实际上是连在一起的同一个面。

　　注意，我们开始是从一张纸开始的，然后得到了一个圆环面。不管怎么说，圆环面已经不是一个平面了。它沿着一条没有穿过它的表面的路线弯曲了。为了帮助我们理解表面的紧致和拓扑性质，我们已经把一张二维空间的纸弯曲成了一个三维空间的物体。

　　严格地说，一个二维平面空间也可以有长方形边缘两两粘合成的形状，并不一定需要弯曲到三维空间。

　　这个平面上的圆环面有着和我们用纸做出来的圆环面有相同的拓扑性质。而且它不需要弯曲成曲面，也不需要存在于三维空间。一个电子游戏就是这样的，你有可能沿着一条路循环地一直走下去。老式的卡通片也是这样。如果你看过《石头族乐园》你会记得弗雷德一遍又一遍地跑过他的屋子，经过同一个窗户，同一盏灯。

　　图 7: 蜜蜂的空间

　　我们现在可以完全摆脱三维空间的束缚，用一个瓷砖拼合图来实现一个紧致的表面。想象一个生活在二维平面圆环面上的生物。这个平面探险家可以在出发的地方做个标记，然后笔直的从左走到右。走了距离L的时候，它们会发现又回到了出发点。

　　我们可以用下面的关于我们每次穿过边界的原则来定义一个基本的单元：

　　1。当我们走出右面的边界就会再进入左边的边界。

　　2。当我们走出上面的边界就会在进入下面的边界，以此类推。

　　图 8: 蜜蜂的多个空间?

　　我们也可以把按刚才的定义得到的基本单元粘在一起得到一个紧致空间。我们可以先拿一个这样的单元，然后再拿一个同样的单元把它的右边和原先的那个单元的右面粘起来。然后我们把另一个单元的下面和原先那个单元的上面粘起来，以次类推，直到最早的单元的每一个边都和另外一个单元的一个边粘在一起。

　　我们还可以拿更多的单元使原先的那些单元每个边都与另外一个单元的一个边相连。按照这个规则，直到整个无限的平面被填满。

　　图 9: 最后的家

　　我们也可以用六边形的单元来代替矩形单元。六边形的边同样可以两两相接形成另一种圆环面，所以可以说六边形与矩形有着相同的拓扑性质。我们同样也可以把六边形这样得到的圆环面描述为一个用六边形瓷砖铺满的空间。

　　图 10: 不要给你的浴室铺八边形的瓷砖！

　　我们试着找到更多能够铺满平面空间的形状，但是最后发现徒劳无功。比如假设你用八边形去铺平面空间，你会发现八边形的内角是135度，如果我们试着把两个八边形的瓷砖拼在一起，会发现剩下的一块塞不下第三块瓷砖。

　　最后，我们发现只有六边形和矩形（或者平行四边形）可以填满一个平面空间。这也是为什么多数浴室，地铁站都会选择六边形或者正方形的瓷砖。

　　虽然八边形不能填满一个平面空间，但是它可以填满一个处处是负曲率的表面。这样的一个表面无法在三维空间中画出，但是我们可以想象一个处处是马鞍型曲率的曲面。

　　图 11: 一个负曲率的表面

　　一个平面的三角形的内角和是180度，而一个负曲率空间的三角形内角小于180度，一个正曲率空间的三角形内角大于180度。所以如果我们在一个负曲率空间是有可能用八边形来铺满的，这样的空间被称作双曲面空间。

　　图 12: 一个双圆环面

　　我们可以把一个八边形象前面那样弯曲到三维空间，看看能从这个双曲面空间的铺砌图能得到什么新的想法。

　　如果我们把八边形的对边两两粘合，就可以得到图 12中的双圆环面。这个双圆环面可以变形成一个有两个把的咖啡杯。所以它与图 4中的圆环面已经有了不同的拓扑性质，图4中的圆环面只能变形为一个把的咖啡杯。

　　这些二维空间的例子启发了我们该如何去构造更复杂的三维空间中的紧致拓扑空间。我们没有把这些推广到四维空间去是因为我们要分析的世界只有三维。我们可以首先从一个固定的曲率开始，选择一种基本形状作为瓷砖，并且应用前面粘合边缘的规则。

　　图 13: 粘在一起的立方体

　　比如说，我们可以从一个简单的三维空间开始，选择一个立方体作为基本单元。我们可以把这些基本单元的面一对一对粘起来，应用我们的粘合规则，让这些三维的单元填满整个三维空间。

　　我们的宇宙也许就是这样一个巨大的立方体，过去几年中，宇宙学家和数学家共同努力想观测出宇宙的整个拓扑结构。这个结果依赖于复杂的图案会在天空留下什么样的几何形状，我们将等待未来的人造卫星发回的数据回答我们的问题。

　　即使宇宙是紧致的，它也大到我们无法看到所有的方向。不过如果是这样，我们将无法肯定我们看到的那些遥远的星系是新的星系还是我们的银河系本身。

　　本文译自英国剑桥大学《+Plus》杂志